Доповідач
Опис
В багатьох наукових і технологічних застосуваннях для створення низькотемпературної плазми широко використовуються безелектродні індукційні розряди. Найбільш ефективними є розряди, які збуджуються у замагніченій плазмі циркулярно поляризованими плазмовими хвилями[1]. Розподіли хвильових електричних і магнітних полів у таких розрядах вивчались у багатьох роботах в циліндричній геометрії[2]. Розглядається замагнічений плазмовий циліндр, що збуджується азимутальним ВЧ струмом. Циліндр обмежений з торців двома провідними стінками. Структура хвильових полів у такій плазмі раніше не розглядалась. Попередні результати такого розгляду викладені в представленій доповіді.
Досліджувана система складається з двох частин: плазмового циліндру та вакуумної області зовні циліндру. Граничні умови утворюються двома поперечними провідними стінками , які обмежують плазмовий циліндр по довжині. Система вміщена в повздовжнє магнітне поле і збуджується кільцевою антеною(зовні циліндра) з азимутальним струмом, який надалі враховується в умовах зшивки.
З рівнянь Максвела (плазмова частина системи) у циліндричній системі координат після підстановки, що задовільняє граничні умови (та масштабуванню по радіусу), отримано систему з шести диференційних рівнянь на комплексні амплітуди полів. Розв’язком цієї системи є диференційне рівняння четвертого порядку з оператором Бесселя (та квадратом оператора) на комплексну амплітуду повздовжнього електричного поля у плазмі. У коефіцієнти при операторі та при повздовжній комплексній амплітуді електричного поля входять компоненти тензора діелектричної проникливості холодної плазми. У розглядуваному випадку однорідної плазми ці коефіцієнти є константами і не залежать від радіусу.
Розв’язком диференційного рівняння четвертого порядку з оператором та квадратом оператора на повздовжню комплексну амплітуду електричного поля є сума функцій Бесселя з множниками константами (1).
$$
E_{1z}=A_+ A_{PEZ} (r) +A_- A_{MEZ} (r) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) $$$$
A_{PEZ} (r)=J_m (N^+ r) $$$$
A_{MEZ} (r)=J_m (N^- r)$$$$
(N^± )^2=-\frac α 2 ± \sqrt{\frac{α^2}4-β}$$$$
α=\frac{ε_2^2+(N_l^2-ε_1 )(ε_1+ε_3 )}{ε_1 }$$$$
β=\frac{ε_3}{ε_1} \left[(ε_1-N_l^2 )^2-ε_2^2 \right]$$$$
N_l=\frac{ck_l}ω $$
Тут позначено : $E_{1z}$ – комплексна амплітуда повздовжнього електричного поля; $A_+$, $A_-$ - константи, які знаходяться з системи лінійних рівнянь, котра виникає з умов зшивки полів між плазмовою та вакуумною частинами системи ; $J_m$, $Y_m$ – функції Бесселя $m$-ого порядку; $ε_1$, $ε_2$ , $ε_3$- компоненти тензора діелектричної проникливості плазми. Індекс 1 відповідає плазмовій частині системи.
Далі послідовно, через підстановки, у зворотньому напрямку зведення системи з шести диференціальних рівнянь до диференціального рівняння із квадратом оператора Бесселя та оператором Бесселя, отримуємо вирази для полів. Зокрема, для комплексної амплітуди азимутального магнітного поля цей вираз має вигляд (2).
$$B_θ=A_+ A_{PBT}(r)+A_- A_{MBT} (r) (2)$$$$A_{PBT} (r)=\left[1-\frac{(ε_1-N_l^2 ) N_l^2}V\right] N^+ J_m' ̇(N^+ r)+\frac{ε_2 N_l^2}V \frac m r J_m (N^+ r)+$$$$
+\frac{N_l}V (KN^{+2}+Σε_3 )\left[(ε_1-N_l^2 ) \frac m r J_m (N^+ r)+ε_2 N^+ (J_m ) ̇(N^+ r)\right]$$$$A_{MBT} (r)=\left[1-\frac{(ε_1-N_l^2 ) N_l^2}V\right] N^- J_m' ̇(N^- r)+\frac{ε_2 N_l^2}V \frac m r J_m (N^- r)+$$$$
+\frac{N_l}V (KN^{-2}+Σε_3 )\left[(ε_1-N_l^2 ) \frac m r J_m (N^- r)+ε_2 N^- J_m' ̇(N^- r)\right]$$$$K=\frac{ε_2 N_l}V-\frac Σ V \left[V-N_l^2 (ε_1-N_l^2 )\right]$$$$Σ=\frac{N_l^2-ε_1}{N_l ε_2}$$$$V=(N_l^2-ε_1 )^2-ε_2^2 $$
Де позначено : $J_m'$, $Y_m'$ – похідні функцій Бесселя. Система з шести диференціальних рівнянь розв’язується для вакуумної частини системи. Константи $A_+$, $A_-$ знаходяться з системи лінійних рівнянь, яка випливає з умов зшивки полів на межах між плазмою та вакуумом.
Таким чином задача з замагніченим плазмовим циліндром, що збуджується азимутальним ВЧ струмом, має аналітичний розв’язок. Плазмовий циліндр обмежено з торців провідними стінками.
- Liberman M.A., Lihtenberg A.I. Principles of Plasma Discharges and Materials Processing. New York : Wiley-1994.
- F.F. Chen. Helicon discharges and sources: a review. Plasma Sources Sci. Technol. 24 (2015) 014001.
