Розглянуто особливості динаміки резонансної взаємодії трьох хвиль, одна з яких лінійно нестійка, а дві інші хвилі лінійно стійкі. В наближенні слабкої взаємодії хвиль система диференціальних рівнянь для комплексних амплітуд $С$ має вигляд [1-8] $\quad\quad\frac{dC_1}{dt}=\gamma_1C_1+M_1C_2C_3e^{-i\delta t},$ $\quad\quad\frac{dC_2}{dt}=-\gamma_2C_2-M_2C_1C_3^*e^{i\delta t},$ $\quad\quad\frac{dC_3}{dt}=-\gamma_3C_3-M_3C_1C_2^*e^{i\delta t},(1)$ де $t$ - час, $i$ - уявна одиниця, коефіцієнти $\gamma_k$, $M_k$, $k=1,2,3$ додатні, $\delta=\omega_1-\omega_2-\omega_3\ne0$ - розлад частот хвиль, $C_k^*$ - величини, комплексно спряжені до $C_k$. Шляхом лінійних перетворень [2-5] рівняння (1) зводяться до чотирьох автономних диференціальних рівнянь з дійсними коефіцієнтами для амплітуд хвиль $a_1,a_2,a_3$ та узагальненої фази $\Phi=\Phi_1-\Phi_2-\Phi_3$ [1-3, 6] $\quad\quad\frac{da_1}{d\tau}=a_1+a_2a_3\cos\Phi, \frac{da_2}{d\tau}=-\nu_2a_2-a_1a_3\cos\Phi,$ $\quad\quad\frac{da_3}{d\tau}=-\nu_3a_3-a_1a_2\cos\Phi, \frac{d\Phi}{d\tau}=\Delta+\left(\frac{a_2a_3}{a_1}-\frac{a_1a_3}{a_2}-\frac{a_1a_2}{a_3}\right)\sin\Phi,(2)$ де введено наступні безрозмірні змінні $\tau=\gamma_1t$,$\nu_2=\gamma_2/\gamma_1$, $\nu_3=\gamma_3/\gamma_1$, $\Delta=\delta/\gamma_1$. Якщо ж загасання симетричне, $\nu_2=\nu_3$, і початкові умови для $a_2$ та $a_3$ однакові, то поклавши $a_2(t)=a_3(t)$, систему (2) можна замінити на більш просту трьох автономних диференціальних рівнянь $\quad\quad\frac{da_1}{d\tau}=a_1+a_2^2\cos\Phi,$ $\quad\quad\frac{da_2}{d\tau}=-\nu_2a_2-a_1a_2\cos\Phi, \frac{d\Phi}{d\tau}=\Delta+\left(\frac{a_2^2}{a_1}-2a_1\right)\sin\Phi, (3)$ з двома параметрами $\nu_2$ та $\Delta$. Властивості поведінки розв’язків рівнянь (3) детально вивчалися в роботах [1-8]. Як показано в [1, 2], якщо $\Delta<\Delta_{min}=3.73$, то в діапазоні $0<\nu_2<\nu_{cr}(\Delta)$ амплітуди хвиль експоненційно зростають. Функція $\nu_{cr}(\Delta)$ монотонно зростає при зменшенні $\Delta$ [4]: $\nu_{cr}(\Delta_{min})\approx2.2$, $\nu_{cr}(2)\approx3$, $\nu_{cr}(1)\approx3.7$, $\nu_{cr}(0.5)\approx4.4$. При $\nu_2\geq\nu_{cr}(\Delta)$ спочатку виникають граничні цикли, далі існують квазіперіодичні та хаотичні траєкторії. Біфуркаційні діаграми для максимальних значень амплітуди $a_3(t)$ у випадку симетричного загасання при різних $\Delta$ показано на рис. 1. Розрахунки біфуркаційних діаграм виконані в пакеті Mathematica 11 [9] за допомогою програми, наведеної в роботі [10]. ![](https://indico.kinr.kyiv.ua/event/4/contributions/111/attachments/60/111/P_reznik_a.png) Рис. 1. Біфуркаційні діаграми $\mathrm{max}a_3(\nu_2)$ для випадку симетричного загасання хвиль, $\nu_3=\nu_2$, при різних значеннях розладу частот $\Delta$. Зовсім інший якісний характер біфуркаційних діаграм буде в випадку несиметричного загасання хвиль $\nu_3\ne\nu_2$ , якщо одне з загасань невелике. На рис. 2 наведені біфуркаційні діаграми для максимальних значень $\max a_3(\nu_2)$ при фіксованому $\nu_3=3$ для різних $\nu_2$ для тих самих значень $\Delta$ , що й на рис. 1. ![](https://indico.kinr.kyiv.ua/event/4/contributions/111/attachments/60/112/P_reznik_b.png) Рис. 2. Біфуркаційні діаграми $\mathrm{max}a_3(\nu_2)$ для $\nu_3=3$ при різних значеннях розладу частот $\Delta$. З рис. 2 видно, що якщо $\Delta=2$ , то при $0<\nu_2<0.895$ матимемо стійкі стаціонарні розв’язки $a_{3s}\sim\sqrt\nu_2$ . В діапазоні $0.895<\nu_2<3.84$ реалізуються граничні цикли. Квазіперіодичні та хаотичні траєкторії спостерігаються при $4.9<\nu_2<7$, а при $8<\nu_2<12$ виникають зворотні біфуркації граничних циклів $4\rightarrow2\rightarrow1$. Якщо $\Delta=1$, то при $0<\nu_2<0.19$ матимемо стійкі стаціонарні розв’язки $a_{3s}\sim\sqrt\nu_2$ , а в діапазоні $0.19<\nu_2<0.8$ - граничні цикли. Квазіперіодичні та хаотичні траєкторії спостерігаються при $0.8<\nu_2<1.25$, а при $1.25<\nu_2<2.03$ - зворотні біфуркації. При $2.03<\nu_2<3$ існує граничний цикл, амплітуда якого прямує до нескінченності, якщо $\nu_2\rightarrow3_{-0}$. При $3_{+0}<\nu_2<3.7$ існує граничний цикл, амплітуда якого при збільшенні $\nu_2$ зменшується. В діапазоні $3.7<\nu_2<4.1$ мають місце біфуркації подвоєння періоду, а при $4.1<\nu_2<8$ спостерігаються квазіперіодичні та хаотичні траєкторії. При $10<\nu_2<14$ спостерігаються зворотні біфуркації граничних циклів. Приблизно така сама якісна картина буде і в випадку $\Delta=0.5$, тільки не існує стійких стаціонарних розв’язків системи (2). Отже, при несиметричному загасанні хвиль з достатньо невеликими декрементами $\gamma_2,\gamma_3$, якщо $\gamma_1<\gamma_2+\gamma_3$, $\max(\gamma_2,\gamma_3)<4\gamma_1$ і $\delta\leq2\gamma_1$ , то існують розв’язки системи (2) у вигляді граничних циклів, квазіперіодичних та хаотичних траєкторій. Навпаки, в симетричному випадку $\gamma_2=\gamma_3$ або близькому до нього, $\gamma_2\approx\gamma_3$ і $\delta\leq2\gamma_1$ при невеликих $\gamma_2,\gamma_3$ обмежених розв’язків системи (3) взагалі не існує. 1. S.Ya. Vyshkind and M.I. Rabinovich, Sov. Phys.-JETP 44 (1976) 292. 2. S.Ya. Vyshkind. Radiophysics and Quantum Electronics, 21 (1978) 600. 3. J.M. Wersinger, J. M. Finn, and E. Ott, Phys. Fluids 23 (1980) 1142. 4. M. N. Bussac, Phys. Scripta, T2/1 (1982) 110. 5. C. Meunier, M.N. Bussac, G. Laval, Physica D 4(2) (1982) 236. 6. P. Terry and W. Horton, Phys. Fluids 25(1982) 491. 7. A. C.‑L. Chian, F. A. Borotto, T. Hada et al., Rev. Mod. Plasma Phys. 6 (2022) 34. 8. V. S. Marchenko, S. N. Reznik, Ya. I. Kolesnichenko, Phys. Plasmas 31 (2024) 022507. 9. https://reference.wolfram.com/language/tutorial/NDSolveOverview.html. 10. J. M. Ginoux,, B. Rosetto. Chaotic Dynamical Systems Tools. Bifurcation diagrams with Mathematica http://ginoux.univ-tln.fr/Recherche/International%20Mathematica%20Symposium.pdf.

Choose timezone

XXXII Щорічна конференція ІЯД НАН України - 2025

Загальна інформація